Kvadratna jednadžba

U ovoj cjelini prolazimo kroz kvadratnu jednadžbu: formulu za rješenja, diskriminantu, Vièteove formule, jednadžbe koje se svode na kvadratne i primjenu u tekstualnim zadacima — ukupno 77 zadataka. Evo tri primjera iz baze, s punim rješenjem:

Zadatak 1 — Diskriminanta kvadratne jednadžbe
Promatraj kvadratnu jednadžbu $(k-1)x^{2}+2kx+(k+3)=0$ , gdje je $k \neq 1$ . Za koji cijeli raspon vrijednosti parametra $k$ ova jednadžba ima dva različita realna rješenja?

Rješenje:
Za dva različita realna rješenja diskriminanta mora biti strogo veća od nule ( $\Delta = b^2-4ac>0$ ). $\Delta=(2k)^2-4(k-1)(k+3)=4k^2-4(k^2+2k-3)=12-8k$ . Postavljanjem uvjeta $\Delta>0$ dobivamo $12-8k>0 \Rightarrow k<\frac{3}{2}$ . Kombiniranjem s uvjetom $k\neq 1$ dobiva se konačno rješenje.
Odgovor: $k<\frac{3}{2}$ , $k\neq 1$

Zadatak 2 — Vièteove formule
Za rješenja $x_{1}, x_{2}$ kvadratne jednadžbe $x^{2}-kx+k-3=0$ vrijedi da je $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=14$ . Odredite vrijednosti realnoga broja $k$ .

Rješenje:
$k^{2}-2k-8=0$ , rješenje uz prikazani postupak.
Odgovor: $k_{1}=-2$ , $k_{2}=4$

Zadatak 3 — Primjena: tekstualni zadatak
U trgovini su snizili cijenu proizvoda za onoliko posto koliko iznosi cijena toga proizvoda u kunama. Ako je nova cijena proizvoda $21.76$ kn, koje su sve moguće cijene toga proizvoda prije sniženja?

Rješenje:
$x - \frac{x}{100}\cdot x = 21.76$ , oba rješenja uz prikazani postupak.
Odgovor: 32 kn, 68 kn

Ovo su 3 od 77 zadataka koje obrađujemo u ovoj cjelini. Puni pristup — teorija, video rješenja i vježbe za sve potpoglavlja — dostupan je kroz CAKI Classroom.